(a) 已知 $\lambda$ 是非奇异方阵 $\mathbf{A}$ 的一个特征值，对应特征向量为 $\mathbf{e}$。

证明 $\mathbf{e}$ 是 $\mathbf{A}^3$ 的特征向量，对应特征值为 $\lambda^3$。

矩阵 $\mathbf{A}$ 为

(b) 证明 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $-1$、$1$ 和 $5$。

(c) 求矩阵 $\mathbf{P}$ 和对角矩阵 $\mathbf{D}$，使得 $\mathbf{A} - 2\mathbf{I} = \mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}$。

(d) 使用 $\mathbf{A}$ 的特征方程，证明 $(\mathbf{A} - 2\mathbf{I})^3 = a\mathbf{A}^2 + b\mathbf{A} + c\mathbf{I}$，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是需要确定的常数。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

把 $\mathbf A$ 连续作用三次。每次作用在同一特征向量上都只会乘一个 $\lambda$。

Since $\mathbf A\mathbf e=\lambda\mathbf e$ and $\mathbf e\ne\mathbf0$,

Thus $\mathbf e$ is an eigenvector of $\mathbf A^3$ with eigenvalue $\lambda^3$.

沿 $\lambda\mathbf I-\mathbf A$ 的第一列展开，再将所得的二阶行列式分解。

The characteristic equation is

The eigenvalues are therefore $-1,1,5$.

逐一解三个特征向量的方程。减去 $2\mathbf I$ 后，特征向量不变，各特征值都减 $2$。

For $\lambda=-1$, the second and third rows of $(\mathbf A+\mathbf I)\mathbf e=\mathbf0$ give $e_2=e_3=0$, so choose $(1,0,0)^{\mathsf T}$. For $\lambda=1$, the equations give $e_2=2e_3$ and $e_1=5e_3$, so choose $(5,2,1)^{\mathsf T}$. For $\lambda=5$, they give $e_2=0$ and $3e_1=2e_3$, so choose $(2,0,3)^{\mathsf T}$.

The eigenvalues of $\mathbf A-2\mathbf I$ for these eigenvectors are $-3,-1,3$, respectively. Thus we can take

The columns of $\mathbf P$ form a basis, so $\mathbf A-2\mathbf I=\mathbf P\mathbf D\mathbf P^{-1}$.

用 Cayley–Hamilton 定理把 $\mathbf A^3$ 写成低次幂，再代入 $(\mathbf A-2\mathbf I)^3$ 的二项展开。

Expanding the characteristic polynomial in (b) gives $\lambda^3-5\lambda^2-\lambda+5$. By the Cayley–Hamilton theorem, $\mathbf A^3=5\mathbf A^2+\mathbf A-5\mathbf I$. Consequently,

Thus $(a,b,c)=(-1,13,-13)$.

也可先对 $\mathbf B=\mathbf A-2\mathbf I$ 使用 Cayley–Hamilton 定理。这样一开始就能把目标 $\mathbf B^3$ 化成低次幂。

From (c), the characteristic polynomial of $\mathbf B=\mathbf A-2\mathbf I$ is

By the Cayley–Hamilton theorem,