令 $I_n = \int_0^1 (1 - x)^n\sinh x\,\mathrm{d}x$，其中 $n$ 是非负整数。

(a) 证明当 $n \ge 2$ 时，$I_n = -1 + n(n - 1)I_{n - 2}$。

(b) 求 $I_2$ 的精确值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

连续分部积分两次，使 $(1-x)$ 的幂降低两次。分别检查两个边界项，第一个给出 $-1$，第二个为零。

For the first integration by parts take $u=(1-x)^n$ and $\mathrm{d}v=\sinh x\,\mathrm{d}x$. Then $\mathrm{d}u=-n(1-x)^{n-1}\,\mathrm{d}x$ and $v=\cosh x$. For the second take $u=(1-x)^{n-1}$ and $\mathrm{d}v=\cosh x\,\mathrm{d}x$, so

For $n\ge2$, the first boundary term below is $-1$, and the second is zero because $(1-x)^{n-1}=0$ at $x=1$ and $\sinh0=0$. Thus

将 $n=2$ 代入递推式，再直接积分求 $I_0$。

We have $I_0=[\cosh x]_0^1=\cosh1-1$. Thus