图中显示曲线 $y = \frac{1}{x^2 + 1}$，其中 $0 \le x \le 1$，以及一组宽度为 $\frac{1}{n}$ 的 $n$ 个矩形。

(a) 通过考虑这些矩形面积之和，证明

(b) 使用类似方法，求 $\sum_{r = 1}^{n} \frac{n}{n^2 + r^2}$ 的一个下界。答案需用 $n$ 和 $\pi$ 表示。

(c) 推出 $\lim_{n \to \infty}\sum_{r = 1}^{n} \frac{n}{n^2 + r^2}$ 的精确值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

题图的矩形取右端点。函数递减，所以矩形总面积小于曲线下的面积，后者用反正切算出。

Let $f(x)=\frac1{1+x^2}$. Since $f$ is strictly decreasing on $[0,1]$, each right-endpoint rectangle lies below the curve. Their total area is

The displayed terms indicate the pattern, with $n$ terms in total. In particular,

Thus

左端点的矩形面积和大于积分。它和右端点的和相减时，只剩区间两个端点的贡献。

The left-endpoint rectangles give

This left-endpoint sum exceeds $S_n$ by $\frac{f(0)-f(1)}n=\frac1{2n}$. Therefore

上下界都趋于 $\frac\pi4$，直接用夹逼定理。

Since $\frac\pi4-\frac1{2n}<S_n<\frac\pi4$, the squeeze theorem gives