一条曲线的参数方程为

(a) 证明当 $x = 0$ 时，$1$ 是 $t$ 的唯一实数值。

(b) 证明

(c) 求 $y$ 的 Maclaurin 级数，展开到并包括 $x^2$ 项。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

将 $x$ 的表达式分组因式分解，注意 $t^2+1$ 对实数恒为正。

We have $x=(t-1)(t^2+1)$. Since $t^2+1>0$ for real $t$, the only real value giving $x=0$ is $t=1$.

分别对 $x(t),y(t)$ 求导，然后用链式法则取比值。

The derivatives are $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=3t^2-2t+1$ and $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=(t+1)e^t$. Hence

由 (a)，Maclaurin 展开所需的 $x=0$ 对应 $t=1$。对 (b) 的商关于 $t$ 求导后，还要除以 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$。

Let $D=3t^2-2t+1$. The quotient rule first gives

Dividing by $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t=D$ gives

At $t=1$, we have $D=2$, $y=e$, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=e$ and

Using $y=y(0)+xy'(0)+\frac{x^2}{2}y''(0)+O(x^3)$, the Maclaurin expansion is

也可令 $h=t-1$，把 $x$ 和 $y$ 都在 $h=0$ 附近展开。先反解出 $h$ 关于 $x$ 的前两项，再代回 $y$。

Writing $h=t-1$ gives $x=2h+2h^2+h^3$. Comparing coefficients in $h=\alpha x+\beta x^2+O(x^3)$ gives $2\alpha=1$ and $2\beta+2\alpha^2=0$. Thus $h=\frac x2-\frac{x^2}{4}+O(x^3)$. It follows that