(a) 使用 De Moivre 定理证明

(b) 据此求方程

的全部根，并将其写成 $\sin q\pi$ 的形式，其中 $q$ 为有理数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用 de Moivre 定理，把 $\sin7\theta$ 写成七次方展开的虚部。只保留含奇数次 $\mathrm{i}$ 的项，再用 $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$。

Write $c=\cos\theta$ and $s=\sin\theta$. Taking imaginary parts in $(c+\mathrm{i}s)^7=\cos7\theta+\mathrm{i}\sin7\theta$ gives

令 $x=\sin\theta$。由 (a)，原多项式乘 $-x$ 后对应 $\sin7\theta$。不能把乘上 $x$ 后新增的零根算进去。

For $x=\sin\theta\ne0$, part (a) shows that the equation is equivalent to $\sin7\theta=0$. Thus $7\theta=k\pi$ for integer $k$. On $[-\frac\pi2,\frac\pi2]$, the allowable non-zero values of $k$ are $\pm1,\pm2,\pm3$. Hence

These are six distinct roots of the degree-six polynomial, so there are no others.