矩阵 $A$ 给出为

(a) 求矩阵 $P$ 及对角矩阵 $D$，使得 $A^6 = PDP^{-1}$。

(b) 利用 $A$ 的特征方程证明

其中 $a$、$b$ 和 $c$ 为待确定的整数。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先求 $A$ 的特征向量。作用六次后，同一特征向量的特征值变成 $\lambda^6$，因此可以直接用这些向量组成 $P$。

The eigenvalues of the triangular matrix $A$ are $1,2,-3$. Solving $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf0$ gives the following choices.

• For $\lambda=1$, $v_2=v_3=0$, so take $(1,0,0)^{\mathsf T}$.
• For $\lambda=2$, $v_3=0$ and $v_1=7v_2$, so take $(7,1,0)^{\mathsf T}$.
• For $\lambda=-3$, $v_2=-v_3$ and $v_1=-v_3$, so take $(1,1,-1)^{\mathsf T}$.

The vectors form a basis. Each is an eigenvector of $A^6$ with eigenvalue $\lambda^6$. Thus one choice is

由特征方程用 Cayley–Hamilton 定理把 $A^3$ 写成一次矩阵多项式。再平方即可得到 $A^6$。

The characteristic equation is

By the Cayley–Hamilton theorem, $A^3=7A-6I$. Since $A$ commutes with $I$, squaring gives

Thus