曲线 $C$ 的方程为 $y = \tanh x$，其中 $x \ge 0$。

(a) 绘制 $C$ 的草图，并写出渐近线的方程。

(b) 考虑一组合适的、宽度为 1 的 $N$ 个矩形，利用你的草图证明

(c) 将 $C$ 上从 $x = 0$ 的点到 $x = \frac{1}{2}\ln 3$ 的点之间的弧段绕 $x$ 轴旋转一周。所得旋转曲面的面积记为 $S$。

(i) 使用代换 $u = \sqrt{1 + \operatorname{sech}^4 x}$ 证明

(ii) 求

的精确值。答案不必化简。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

从原点起画。曲线始终递增，但斜率逐渐减小，并从下方趋向水平渐近线。

The curve starts at $(0,0)$ and increases, since $y'=\operatorname{sech}^2x>0$. For $x>0$, $y''=-2\operatorname{sech}^2x\tanh x<0$. Also $\tanh x\to1$ as $x\to\infty$, so the horizontal asymptote is $\boxed{y=1}$.

在草图上，从 $0$ 到 $N$ 每隔 $1$ 划一个区间。曲线递增，右端点高度给出的矩形在曲线上方。

On each $[r-1,r]$, the width-one rectangle of height $\tanh r$ lies above the curve except at the right endpoint. The total area is

where the terms show the pattern of $N$ rectangles. Thus

先写绕 $x$ 轴旋转的曲面面积公式。按题意求 $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$，用 $u^2-1=\operatorname{sech}^4x$ 整理，并换掉两个积分端点。

The surface area about the $x$-axis is

Since $y=\tanh x$ and $y'=\operatorname{sech}^2x$,

With $u=\sqrt{1+\operatorname{sech}^4x}$, we have

Since $u^2-1=\operatorname{sech}^4x$, this gives

At $x=0$, $u=\sqrt2$. At $x=\frac12\ln3$, $\tanh x=(3-1)/(3+1)=\frac12$, so $\operatorname{sech}^2x=1-\frac14=\frac34$ and $u=\sqrt{1+\frac9{16}}=\frac54$. Reversing the transformed limits cancels the minus sign, giving

先把分子除以分母，余下的真分式拆成 $1/(u-1)$ 和 $1/(u+1)$ 两项。

For $u>1$,

Thus