设 $I_n=\displaystyle\int_0^1(1+t)^n\sin\pi t\,\mathrm{d}t$，其中 $n$ 是非负整数。

(a) 证明当 $n\ge 2$ 时，$\pi^2I_n=\pi\big(2^n+1\big)-n(n-1)I_{n-2}$。

(b) 求 $I_2$ 的精确值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

做两次分部积分，每次降低 $(1+t)$ 的幂。第一次的余弦边界项给出 $2^n+1$，第二次的正弦边界项为零。

Take $u=(1+t)^n$ and $\mathrm{d}v=\sin\pi t\,\mathrm{d}t$, so $u'=n(1+t)^{n-1}$ and $v=-\cos\pi t/\pi$. Integration by parts gives

Since $\cos\pi=-1$ and $\cos0=1$, the first boundary term is $(2^n+1)/\pi$. For the remaining integral, take $u=(1+t)^{n-1}$ and $\mathrm{d}v=\cos\pi t\,\mathrm{d}t$. Then $u'=(n-1)(1+t)^{n-2}$ and $v=\sin\pi t/\pi$. A second integration by parts gives

Hence $\pi^2 I_n=\pi(2^n+1)-n(n-1)I_{n-2}$.

先直接求 $I_0$，再在递推式中取 $n=2$。

We have $I_0=[-\cos(\pi t)/\pi]_0^1=2/\pi$. Thus $\pi^2 I_2=5\pi-2I_0=5\pi-4/\pi$, so