图中显示了 $0\le x\le 1$ 时方程为 $y=\frac{11}{10}x^3+\frac{1}{10}$ 的曲线，以及一组由 $n$ 个宽为 $\dfrac{1}{n}$ 的矩形组成的图形。

(a) 通过考虑这些矩形的面积之和，证明

其中

(b) 用类似的方法求 $\displaystyle\int_0^1\bigg(\frac{11}{10}x^3+\frac{1}{10}\bigg)\,\mathrm{d}x$ 的一个下界 $L_n$，用 $n$ 表示。

(c) 证明 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(U_n-L_n)=0$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

曲线严格递增，题图按右端点取矩形高度。常数项对总面积贡献 $\frac1{10}$，三次项用立方和公式。

Let $f(x)=\frac{11}{10}x^3+\frac1{10}$. The right-endpoint rectangles give a strict upper bound because $f$ is increasing on $[0,1]$. The total area is $\frac1n[f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+\cdots+f((n-1)/n)+f(1)]$. Using $\sum_{r=1}^n r^3=[n(n+1)/2]^2$, we obtain

Thus $\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x<U_n$.

改用左端点，立方和加到 $n-1$。矩形仍有 $n$ 个，因此常数项的总贡献不变。

The left-endpoint rectangles give a lower bound. Their area sum is

也可从 $U_n$ 出发。内部端点的面积项不变，只把最右端的高度换成最左端的高度。

The left-endpoint sum equals $U_n-(f(1)-f(0))/n=U_n-\frac{11}{10n}$. Therefore

两界的常数项相消。利用平方差，可立即得到只含 $1/n$ 的差。

Subtracting gives