(a) 常数 $a$ 和 $b$ 使方程组

没有唯一解。求 $a$，用 $b$ 表示。

矩阵 $\mathbf{A}$ 为

(b) 用 $\mathbf{A}$ 的特征方程证明 $\mathbf{A}^4=p\mathbf{A}^2+q\mathbf{I}$，其中 $p$ 和 $q$ 是待求的整数。

(c) 求矩阵 $\mathbf{P}$ 和对角矩阵 $\mathbf{D}$，使得 $\mathbf{A}^7=\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}$。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

没有唯一解时，系数矩阵行列式为零。整理出含 $a$ 的部分，并检查 $b=-4$。

The coefficient determinant is

Expanding along the first row gives $(-1)(2+b)-(-2)(2a)+ab$. Setting it equal to zero gives $a(b+4)=b+2$. When $b=-4$ this is impossible, so

写出特征方程，用 Cayley–Hamilton 定理先降 $A^3$。乘 $A$ 后再代回同一个等式。

The eigenvalues of $\mathbf A$ are $-1,1,2$, so its characteristic polynomial is $\lambda^3-2\lambda^2-\lambda+2$. The Cayley–Hamilton theorem gives $\mathbf A^3=2\mathbf A^2+\mathbf A-2\mathbf I$. Therefore

Thus $(p,q)=(5,-4)$.

也可保留特征多项式的因式。补乘 $\mathbf A+2\mathbf I$，使因式都只含 $\mathbf A^2$。

The factored characteristic equation gives $(\mathbf A^2-\mathbf I)(\mathbf A-2\mathbf I)=\mathbf0$. Multiplying by $\mathbf A+2\mathbf I$ gives

Hence $\mathbf A^4=5\mathbf A^2-4\mathbf I$.

先求 $\mathbf A$ 的特征向量。$\mathbf A^7$ 保留这些向量，特征值变成原值的七次幂。

Solving the three eigenvector systems gives $(1,0,0)^{\mathsf T}$ for $\lambda=-1$, $(1,-1,0)^{\mathsf T}$ for $\lambda=1$, and $(1,-1,1)^{\mathsf T}$ for $\lambda=2$. In the second system the last coordinate is zero and the first two are opposites. In the third, the second and third are opposites and the first equals the third.

The eigenvectors form a basis and the respective eigenvalues of $\mathbf A^7$ are $-1,1,128$. Thus

give $\mathbf A^7=\mathbf P\mathbf D\mathbf P^{-1}$.