曲线的方程为 $y=\sqrt{x}$，其中 $0\le x\le 2$。求该曲线绕 $x$ 轴旋转 $2\pi$ 弧度所生成的曲面的面积，用 $\pi$ 表示。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

写出绕 $x$ 轴旋转的曲面面积公式。$y'$ 在 $x=0$ 处无定义，但乘上半径 $\sqrt x$ 后，被积函数有有限的极限。

For $x>0$, $y'=1/(2\sqrt x)$. Using $S=2\pi\int y\sqrt{1+(y')^2}\,\mathrm{d}x$, the surface area is

For the integral, $u=4x+1$ gives $\mathrm{d}x=\mathrm{d}u/4$, so its antiderivative is $\pi u^{3/2}/6$. The limit exists because the simplified integrand is continuous at zero.