设 $I_n=\displaystyle\int_0^a\big(\ln(x+1)\big)^n\,\mathrm{d}x$，其中 $n$ 是非负整数，且 $a>0$。

(a) 通过考虑 $(x+1)\big(\ln(x+1)\big)^n$ 的导数，或用其他方法，证明当 $n\ge 1$ 时，

(b) 求 $I_2$，用 $a$ 表示。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用乘积法则求题给函数的导数。对数求导产生的 $1/(x+1)$ 正好消去前面的因子，积分后得到 $I_n$ 和 $I_{n-1}$。

The product and chain rules give $\ln^n(x+1)+(x+1)n\ln^{n-1}(x+1)/(x+1)$. Cancelling the factor $x+1$, we obtain

Integrating from $0$ to $a$ gives

At $x=0$, the boundary term is zero because $n\ge1$. Rearranging gives $I_n=(a+1)\ln^n(a+1)-nI_{n-1}$.

也可对 $I_n$ 分部积分，把 $\mathrm{d}x$ 积分为 $x$。余项中的 $x/(x+1)$ 拆成 $1-1/(x+1)$。

For integration by parts take $u=\ln^n(x+1)$ and $\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$. Then $\mathrm{d}u=n\ln^{n-1}(x+1)\,\mathrm{d}x/(x+1)$ and $v=x$. This gives

由 $I_0=a$ 开始，先取 $n=1$，再取 $n=2$。

Let $L=\ln(a+1)$. Since $I_0=a$, the recurrence gives $I_1=(a+1)L-a$ and