(a) 证明微分方程

的一个适当的积分因子为 $\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}$。

(b) 由此求微分方程

满足当 $x=0$ 时 $y=1$ 的解。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

在含初始点的 $-1<x<1$ 区间，先把方程化为标准形式。$y$ 的系数是反双曲正切的导数，用对数形式写出积分因子。

Dividing by $1-x^2$ on $-1<x<1$ gives

An integrating factor is

积分因子乘到右边后，$\sqrt{1-x}$ 抵消，只剩 $\sqrt{1+x}$。积分后由初值确定常数。

Multiplying the standard equation by $\sqrt{(1+x)/(1-x)}$ gives

Since $\int(1+x)^{1/2}\,\mathrm{d}x=\frac23(1+x)^{3/2}+C$, we have $y\sqrt{(1+x)/(1-x)}=\frac23(1+x)^{3/2}+C$. At $x=0$, $y=1$, so $C=\frac13$. Thus