设 $\mathbf{A}=\begin{pmatrix}a&-1\\5&1\end{pmatrix}$，其中 $a$ 是常数。已知 $2$ 是 $\mathbf{A}$ 的一个特征值。

(a) 求 $a$ 及 $\mathbf{A}$ 的另一个特征值。

(b) 求矩阵 $\mathbf{P}$ 和对角矩阵 $\mathbf{D}$，使得 $\mathbf{A}^5=\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}$。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

把已知特征值 $2$ 代入特征方程求 $a$，再因式分解得到另一个特征值。

The characteristic polynomial is $(a-\lambda)(1-\lambda)+5$. At $\lambda=2$, this gives $-(a-2)+5=0$, hence $a=7$. The polynomial is now $\lambda^2-8\lambda+12=(\lambda-2)(\lambda-6)$, so the other eigenvalue is $\boxed{6}$.

也可由特征向量方程求参数。已知特征值为 $2$ 时，先用第二行确定两个坐标的关系，再代回第一行。

For an eigenvector $(u,v)^{\mathsf T}$ with eigenvalue $2$, the second row gives $v=5u$. Here $u\ne0$ because the vector is non-zero. The first row gives $au-v=2u$, so $a=7$.

For a general eigenvalue $\lambda$, the equations now give $(7-\lambda)u=v$ and $5u=(\lambda-1)v$. Again $u\ne0$, so $(7-\lambda)(\lambda-1)=5$, which yields $\lambda=2$ or $6$.

找出两个特征向量作为 $\mathbf P$ 的列。$\mathbf A$ 连续作用五次时，特征值变成原值的五次幂。

The eigenvectors satisfy $v=5u$ for $\lambda=2$ and $v=u$ for $\lambda=6$. We can take $(1,5)^{\mathsf T}$ and $(1,1)^{\mathsf T}$. Since $\det\mathbf P=1-5=-4\ne0$, these form a basis, and the respective eigenvalues of $\mathbf A^5$ are $2^5$ and $6^5$. Thus

give $\mathbf A^5=\mathbf P\mathbf D\mathbf P^{-1}$.