设 $I_n=\displaystyle\int_{-\frac{1}{2}\pi}^{\frac{1}{2}\pi}\mathrm{e}^x\cos^n x\,\mathrm{d}x$，其中 $n$ 是非负整数。

(a) 证明当 $n\ge 2$ 时，

并推导出递推公式

(b) 求 $I_4$ 的精确值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

两次都对 $e^x$ 积分，并对三角因子求导。因为 $n\ge2$，两个边界项都含正次幂的 $\cos x$，所以在端点消失。

Let $a=-\pi/2$ and $b=\pi/2$. First take $u=\cos^nx$, $\mathrm{d}v=e^x\,\mathrm{d}x$, so $u'=-n\cos^{n-1}x\sin x$ and $v=e^x$. In the resulting integral take $u=\cos^{n-1}x\sin x$ and $\mathrm{d}v=e^x\,\mathrm{d}x$. Then

These two integrations by parts give

The boundary terms vanish because $n\ge2$ and $\cos a=\cos b=0$. Since $\sin^2 x=1-\cos^2 x$, the last integral is $I_{n-2}-I_n$. Therefore

从 $I_0$ 开始，依次令 $n=2,4$，把两个递推系数相乘。

We have $I_0=[e^x]_{-\pi/2}^{\pi/2}=e^{\pi/2}-e^{-\pi/2}$. The recurrence gives $5I_2=2I_0$ and $17I_4=12I_2$. Hence