图中显示了方程为 $y=\dfrac{\ln x}{x^2}$ 的曲线，其中 $x\ge2$，以及一组宽度为 1 的 $(N-2)$ 个矩形。

(a) 考虑这些矩形的面积之和，证明

(b) 使用类似方法，求出一个关于 $N$ 的 $\displaystyle\sum_{r=1}^{N}\frac{\ln r}{r^2}$ 的下界。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先验证 $x\ge2$ 时曲线递减。题图取右端点，面积和从 $3$ 加到 $N$，所以把前两项补回后可得到整个和的上界。

Let $f(x)=(\ln x)/x^2$. Then $f'(x)=(1-2\ln x)/x^3<0$ for $x\ge2$, since $\ln2>1/2$. The diagram uses right endpoints, so

For integration by parts take $u=\ln x$, $\mathrm{d}v=x^{-2}\,\mathrm{d}x$, so $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x/x$ and $v=-1/x$. Then

Therefore

Since $f(1)=0$ and $f(2)=\frac14\ln2$, adding these terms gives the constant $\frac14\ln2+\frac12(1+\ln2)=\frac14(2+3\ln2)$. Thus

改用左端点后，矩形总面积大于积分。这个和从 $2$ 加到 $N-1$，最后补上第 $N$ 项。

The left-endpoint rectangles on $[2,N]$ give $\sum_{r=2}^{N-1}f(r)>\int_2^N f(x)\,\mathrm{d}x$. Adding $f(1)=0$ and $f(N)$ yields

也可把最后一个宽为 $1$ 的矩形放在 $[N,N+1]$ 上。这样左端点从 $2$ 一直到 $N$，无需另补末项。

For each $r=2,\ldots,N$, the left-endpoint rectangle on $[r,r+1]$ has area $f(r)$, greater than the integral over that interval. Thus another lower bound is