求 $\ln(1+\mathrm{e}^x)$ 的麦克劳林级数，展开至并包括 $x^2$ 项。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先求对数的导数，再用商法则求第二阶导数。代入 $x=0$ 得出展开系数。

For $f(x)=\ln(1+e^x)$,

Thus $f(0)=\ln2$, $f'(0)=1/2$ and $f''(0)=1/4$. Using $f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac12f''(0)x^2+O(x^3)$ gives

也可先展开 $e^x$，提出 $1+e^x$ 的常数因子 $2$，再用 $\ln(1+u)$ 的展开。

Using the standard expansion $e^x=1+x+x^2/2+O(x^3)$ gives $1+e^x=2(1+\frac x2+\frac{x^2}{4}+O(x^3))$. Put $u=\frac x2+\frac{x^2}{4}+O(x^3)$. The standard expansion is $\ln(1+u)=u-u^2/2+O(u^3)$ and $u^2=x^2/4+O(x^3)$. Hence