(a) 从 $\cosh$ 和 $\sinh$ 的指数形式定义出发，证明

(b) 证明 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(\tan^{-1}(\sinh x)\big)=\operatorname{sech}x$。

(c) 画出 $y=\operatorname{sech}x$ 的图像草图，并写出渐近线的方程。

(d) 通过考虑一组合适的、宽均为一个单位的 $n$ 个矩形，利用你的草图证明

(e) 由此写出 $\displaystyle\sum_{r=1}^{\infty}\operatorname{sech}r$ 的一个上界，用含 $\pi$ 的式子表示。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

将两个双曲函数写成指数式。用平方差可直接消去大部分项。

The definitions are $\cosh x=(e^x+e^{-x})/2$ and $\sinh x=(e^x-e^{-x})/2$. Therefore,

对 $\arctan(\sinh x)$ 用链式法则。用 (a) 把分母换成 $\cosh^2x$。

By the chain rule and (a),

$\cosh x$ 是偶函数，在零点最小，向两侧趋于无穷。因此它的倒数在零点最高，向两侧趋于零。

The curve is symmetric about the $y$-axis, lies above the $x$-axis, and has maximum $(0,1)$. It decreases for $x>0$ and tends to zero as $x\to\pm\infty$. The horizontal asymptote is $\boxed{y=0}$.

取草图中 $x\ge0$ 的下降段。宽为 $1$ 的右端点矩形位于曲线下方，再用 (b) 积分。

On each interval $[r-1,r]$, the right-endpoint rectangle of height $\operatorname{sech}r$ lies below the curve on the interior. The total rectangle area is $\operatorname{sech}1+\operatorname{sech}2+\operatorname{sech}3+\cdots+\operatorname{sech}(n-1)+\operatorname{sech}n$. Thus

当 $n\to\infty$，$\sinh n$ 趋于无穷，反正切趋于 $\pi/2$。各项为正，部分和单调增加。

The positive partial sums increase and are bounded above by $\arctan(\sinh n)<\pi/2$. Thus the series converges and $\boxed{\pi/2}$ is an upper bound for its sum.