(a) 一条曲线的方程为 $y=\mathrm{e}^x+\frac{1}{4}\mathrm{e}^{-x}$，其中 $0\le x\le1$。求该曲线绕 $x$ 轴旋转 $2\pi$ 弧度所生成的曲面的面积，用含 $\pi$ 和 $\mathrm{e}$ 的式子表示。

(b) 利用公式表（MF19）中的标准结果，或用其他方法，求 $\mathrm{e}^x+\frac{1}{4}\mathrm{e}^{-x}$ 的麦克劳林级数，展开至并包括 $x^2$ 项。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

比较 $y$ 和 $y'$ 的平方。两者只差 $1$，所以弧长因子 $\sqrt{1+(y')^2}$ 正好等于 $y$。

Here $y'=e^x-\frac14e^{-x}$ and $y^2-(y')^2=4(e^x)(\frac14e^{-x})=1$. Hence $1+(y')^2=y^2$. Since $y>0$, $\sqrt{1+(y')^2}=y$, and the surface area is

分别展开 $e^x$ 和 $e^{-x}$，将相同次数的项相加。

We have

也可直接在零点求函数值和前两阶导数，再用 Maclaurin 公式。

For $f(x)=e^x+\frac14e^{-x}$, we have $f'(x)=e^x-\frac14e^{-x}$ and $f''(x)=f(x)$. Thus $f(0)=5/4$, $f'(0)=3/4$ and $f''(0)=5/4$. Using $f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac12f''(0)x^2+O(x^3)$, the expansion is $\frac54+\frac34x+\frac58x^2+O(x^3)$.