(a) 已知 $\lambda$ 是非奇异方阵 $\mathbf{A}$ 的一个特征值，对应的特征向量为 $\mathbf{e}$。

证明 $\lambda^{-1}$ 是 $\mathbf{A}^{-1}$ 的一个特征值，且 $\mathbf{e}$ 是其对应的特征向量。

矩阵 $\mathbf{A}$ 为

(b) 已知 $-1$ 是 $\mathbf{A}$ 的一个特征值，求一个对应的特征向量。

(c) 另已知 $\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征向量。求对应的特征值。

(d) 由此求矩阵 $\mathbf{P}$ 和对角矩阵 $\mathbf{D}$，使得 $\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}$。

(e) 利用 $\mathbf{A}$ 的特征方程证明 $\mathbf{A}^{-1}=p\mathbf{A}^2+q\mathbf{I}$，其中 $p$ 和 $q$ 是待求的有理数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

从特征向量方程出发，两边乘 $\mathbf A^{-1}$。由于矩阵可逆，$\lambda$ 非零，可再除以 $\lambda$。

From $\mathbf A\mathbf e=\lambda\mathbf e$, multiplying by $\mathbf A^{-1}$ gives $\mathbf e=\lambda\mathbf A^{-1}\mathbf e$. Since $\mathbf A$ is non-singular, $\lambda\ne0$. Therefore $\mathbf A^{-1}\mathbf e=\lambda^{-1}\mathbf e$, as required.

把 $\lambda=-1$ 代入特征向量方程。先用第一行消去第三个坐标，再用第二行求中间坐标。

The first row of $(\mathbf A+\mathbf I)\mathbf v=\mathbf0$ gives $v_3=-v_1$, and the second gives $15v_1-3v_2+3v_3=0$. Substituting $v_3=-v_1$ gives $12v_1-3v_2=0$, hence $v_2=4v_1$. The third is consistent with the first, so an eigenvector is $\boxed{(1,4,-1)^{\mathsf T}}$.

将矩阵分别乘两个向量，与原向量比较倍数。

We have

The corresponding eigenvalues are $\boxed{-4\text{ and }5}$, respectively.

用 (b)、(c) 的特征向量作为 $\mathbf P$ 的列。根据 (a)，$\mathbf D$ 中放入相同顺序的倒数特征值。

We may take

The columns form a basis, so $\mathbf A^{-1}=\mathbf P\mathbf D\mathbf P^{-1}$.

由三特征值写出特征方程。用 Cayley–Hamilton 定理得到矩阵等式，再乘 $\mathbf A^{-1}$。

The characteristic polynomial is

By the Cayley–Hamilton theorem, $\mathbf A^3-21\mathbf A-20\mathbf I=\mathbf0$. Multiplying by $\mathbf A^{-1}$ gives $\mathbf A^2-21\mathbf I-20\mathbf A^{-1}=\mathbf0$. Rearranging,

Hence $(p,q)=(1/20,-21/20)$.