已知 $y=\cosh u$，其中 $u\gt0$，且

(a) 证明

(b) 求 $u$ 关于 $x$ 的表达式，已知当 $x=0$ 时，$u=\ln3$ 且 $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=3$。

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请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

对 $y=\cosh u$ 使用两次链式法则。因为 $u>0$，题给的根式等于正的 $\sinh u$。

Since $u>0$, $\sqrt{\cosh^2u-1}=\sinh u$. Differentiation gives

Thus $y''+y'-2y$ is precisely $\sinh u\,(u''+u')+\cosh u\,(u')^2-2\cosh u$, which equals $4e^{-x}$ by the given equation.

也可把 $u'$ 和 $u''$ 先用 $y$ 的导数表示。代回原式后，两个含 $(y')^2$ 的项会抵消。

Let $s=\sinh u>0$. Since $y'=su'$,

Substituting into the original left-hand side gives

Hence $y''+y'-2y=4e^{-x}$.

先解 (a) 的线性方程，再把给定的 $u,u'$ 换成 $y,y'$ 的初值。最后因 $u>0$ 取反双曲余弦的正分支。

The auxiliary equation $(m-1)(m+2)=0$ gives the complementary function $Ae^x+Be^{-2x}$. For the particular integral, take $y_{\mathrm p}=ke^{-x}$, so $y_{\mathrm p}'=-ke^{-x}$ and $y_{\mathrm p}''=ke^{-x}$. Substitution gives $(k-k-2k)e^{-x}=4e^{-x}$, hence $k=-2$. Thus

Differentiation gives $y'=Ae^x-2Be^{-2x}+2e^{-x}$. Since $\cosh(\ln3)=(3+1/3)/2=5/3$ and $\sinh(\ln3)=(3-1/3)/2=4/3$, at $x=0$, $u=\ln3$ gives $y(0)=\cosh(\ln3)=5/3$, while $y'(0)=3\sinh(\ln3)=4$. Therefore

These equations are $A+B=11/3$ and $A-2B=2$. Subtracting gives $3B=5/3$, so $B=5/9$ and $A=28/9$. On the interval containing $0$ where $y>1$, the required $u>0$ is