矩阵 $\mathbf{A}$ 为

(a) 求矩阵 $\mathbf{P}$ 和对角矩阵 $\mathbf{D}$，使得 $\mathbf{A}^5=\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}$。

(b) 利用 $\mathbf{A}$ 的特征方程证明

其中 $a$ 和 $b$ 是待求的整数。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

从上三角矩阵的对角线读出特征值，再求对应特征向量。$\mathbf A^5$ 保留这些向量，只把特征值提升到五次幂。

Since $\mathbf A$ is upper triangular, its characteristic equation is $(\lambda-2)(\lambda-5)(\lambda+2)=0$. The eigenvalues are $2,5,-2$. Solving $(\mathbf A-\lambda\mathbf I)\mathbf v=\mathbf0$ gives these choices.

• For $\lambda=2$, $v_2=v_3=0$, so take $(1,0,0)^{\mathsf T}$.
• For $\lambda=5$, the third row gives $-7v_3=0$, and the first then gives $-3v_1-3v_2=0$. Thus $v_3=0$ and $v_1=-v_2$, so take $(1,-1,0)^{\mathsf T}$.
• For $\lambda=-2$, the second row gives $7v_2+7v_3=0$, and the first gives $4v_1-3v_2-7v_3=0$. Thus $v_2=-v_3$ and $v_1=v_3$, so take $(1,-1,1)^{\mathsf T}$.

The eigenvectors form a basis. They give $\mathbf A^5=\mathbf P\mathbf D\mathbf P^{-1}$ with

用 Cayley–Hamilton 定理先把 $\mathbf A^3$ 降为二次式。再乘 $\mathbf A$，将出现的 $\mathbf A^3$ 代回。

The characteristic polynomial is $(\lambda-2)(\lambda-5)(\lambda+2)=\lambda^3-5\lambda^2-4\lambda+20$. By the Cayley–Hamilton theorem, $\mathbf A^3=5\mathbf A^2+4\mathbf A-20\mathbf I$. Thus

Therefore $(a,b)=(29,-100)$.

也可保留特征多项式的因式。补乘 $\mathbf A+5\mathbf I$，即可直接得到关于 $\mathbf A^2$ 的方程。

The factored characteristic equation gives $(\mathbf A^2-4\mathbf I)(\mathbf A-5\mathbf I)=\mathbf0$. Multiplying by $\mathbf A+5\mathbf I$ gives

Expanding yields $\mathbf A^4=29\mathbf A^2-100\mathbf I$.