矩阵 $A$ 为

(a) 求矩阵 $P$ 和对角矩阵 $D$，使得

(b) 利用 $A$ 的特征方程求 $A^{-1}$。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

上三角矩阵的对角线给出特征值。求出对应特征向量后，在 $D$ 中按列顺序放入原特征值的倒数。

The eigenvalues of $A$ are $-6,-2,8$. Solving $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf0$ gives the following choices.

• For $\lambda=-6$, $v_2=v_3=0$, so take $(1,0,0)^{\mathsf T}$.
• For $\lambda=-2$, $v_3=0$ and $v_2=2v_1$, so take $(1,2,0)^{\mathsf T}$.
• For $\lambda=8$, $v_3=2v_2$ and $v_1=v_3$, so take $(2,1,2)^{\mathsf T}$.

If $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$, then $A^{-1}\mathbf v=\lambda^{-1}\mathbf v$. Therefore

give $A^{-1}=PDP^{-1}$.

由特征值写出特征方程。用 Cayley–Hamilton 定理得到矩阵等式，再乘 $A^{-1}$，只需求出 $A^2$。

The characteristic polynomial is

By the Cayley–Hamilton theorem, $A^3-52A-96I=0$. Multiplying by $A^{-1}$ gives $A^2-52I-96A^{-1}=0$. Calculating $A^2$, its first-row entries are

The other rows give

Therefore