(a) 写出级数 $1+z+z^2+\cdots+z^{n-1}$ 的和，其中 $z\ne1$。

(b) 令 $z=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$，其中 $\cos\theta\ne1$，证明

图中显示曲线 $y=\cos x$，其中 $0\le x\le1$，以及一组宽度均为 $\frac{1}{n}$ 的 $n$ 个矩形。

(c) 通过考虑这些矩形的面积之和，证明

(d) 使用类似方法，求关于 $n$ 的积分

的下界。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用首项为 $1$、公比为 $z$ 的有限等比数列求和公式。

For $z\ne1$,

余弦和是等比和的实部。将分子分母同乘 $1-\bar z$，分母可化成 $2(1-\cos\theta)$。

Let $z=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$. By de Moivre’s theorem, the required cosine sum is the real part of $(1-z^n)/(1-z)$. Multiplying by $1-\bar z$ makes the denominator

Let $a=1-\cos n\theta$, $b=\sin n\theta$, $c=1-\cos\theta$, and $d=\sin\theta$. Then

Thus

也可在指数形式的分子和分母同时乘 $e^{-\mathrm{i}\theta/2}$，把分母化成纯虚数。取实部后，再用半角恒等式。

With $z=e^{\mathrm{i}\theta}$,

Its real part is

Using $\cos(\theta/2)/\sin(\theta/2)=\sin\theta/(1-\cos\theta)$ gives the required identity.

余弦在 $[0,1]$ 上递减，题图的左端点矩形给出上界。面积和中的角度以 $1/n$ 为步长，直接用 (b)。

The left-endpoint rectangles have total area

Since cosine is strictly decreasing on $[0,1]$, the integral is strictly less than $U_n$. Applying (b) with $\theta=1/n$ gives

右端点矩形给出下界。与上界相比，只需删去高度 $\cos0$ 对应的面积，再加上高度 $\cos1$ 对应的面积。

The area sum of the right-endpoint rectangles lies strictly below the integral. It differs from $U_n$ by replacing the term $1/n$ with $(\cos1)/n$. Therefore the lower bound is