已知

(a) 证明

(b) 求用 $t$ 表示的 $\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

分别对 $x(t),y(t)$ 求导，再用链式法则取比值。

The parameter requires $t\ne0$. The derivatives are $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-t^{-2}$ and $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=(t+1)e^t$. Hence

对 (a) 用乘积法则求关于 $t$ 的导数，再乘 $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=-t^2$。

Differentiating with respect to $t$ gives

Multiplying by $-t^2$ gives $\boxed{\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=t^3e^t(t^2+4t+2)}$.