图中显示了曲线 $y=x\operatorname{sech}^2x$ 的一部分及其最高点 $M$。

(a) 证明在 $M$ 点，

并验证此方程在 $0.7$ 与 $0.8$ 之间有一个根。

(b) 考虑一组合适的矩形，利用图示证明

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用乘积法则求导，提出始终为正的 $\operatorname{sech}^2x$。再对剩下的方程检查两端的符号。

For $f(x)=x\operatorname{sech}^2x$,

At $M$ the derivative vanishes. Since $\operatorname{sech}^2x>0$, we obtain $2x\tanh x-1=0$. The continuous function $h(x)=2x\tanh x-1$ satisfies

So it has a root in $(0.7,0.8)$.

在 $x\ge1$ 的下降段用宽为 $1$ 的右端点矩形。它们给出积分的下界。积分时把 $x$ 保留作因子，对 $\operatorname{sech}^2x$ 积分。

For $x>0$, $h'(x)=2\tanh x+2x\operatorname{sech}^2x>0$. Since $h(0.8)>0$, it follows that $f'(x)<0$ for $x\ge1$. For $r=2,\ldots,n$, the rectangle on $[r-1,r]$ with height $f(r)$ lies below the curve on the interval interior. The areas are $2\operatorname{sech}^22$, $3\operatorname{sech}^23$, $4\operatorname{sech}^24$, $\ldots$, $(n-1)\operatorname{sech}^2(n-1)$, $n\operatorname{sech}^2n$. Thus

Take $u=x$ and $\mathrm{d}v=\operatorname{sech}^2x\,\mathrm{d}x$, so $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ and $v=\tanh x$. Integration by parts gives

This proves the claimed bound.