给定矩阵 $P$

(a) 写出 $P$ 的特征值。

(b) 利用 $P$ 的特征方程求 $P^{-1}$。

三阶矩阵 $A$ 有互不相同且非零的特征值 $a$、$\frac{1}{2}$、$2$，其对应的特征向量依次为

(c) 求用 $a$ 表示的 $A^{-1}$。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

上三角矩阵的特征值由主对角线直接读出。

The eigenvalues of $P$ are $\boxed{1,2,-1}$.

用特征值写出特征方程。由 Cayley–Hamilton 定理再乘 $P^{-1}$，将逆矩阵表示成 $P^2,P,I$ 的组合。

The characteristic polynomial is

By the Cayley–Hamilton theorem, $P^3-2P^2-P+2I=0$. Multiplying by $P^{-1}$ gives $2P^{-1}=I+2P-P^2$. For example, $(P^2)_{12}=1(-1)+(-1)2=-3$ and $(P^2)_{13}=1(1)+(-1)1+1(-1)=-1$. Thus

we obtain

题给三个特征向量恰好是 $P$ 的列。逆矩阵的特征值取倒数，按相同顺序放入 $D$，再计算 $PDP^{-1}$。

The columns of $P$ are the stated eigenvectors of $A$. They are also eigenvectors of $A^{-1}$, with eigenvalues $1/a,2,1/2$ respectively. Therefore