(a) 从用指数表示的 $\cosh$ 和 $\sinh$ 的定义出发，证明

(b) 一条曲线的方程为 $y=x^2$，其中 $0\le x\le\frac{2}{3}$。将该曲线绕 $x$ 轴旋转 $2\pi$ 弧度后生成的曲面面积记为 $S$。

使用代换 $x=\frac{1}{2}\sinh u$ 证明

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请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先把 $\sinh A$ 写成指数差。平方展开后认出 $\cosh2A$ 的指数形式。

The exponential definitions give $\sinh A=(e^A-e^{-A})/2$ and $\cosh2A=(e^{2A}+e^{-2A})/2$. Hence

写出曲面面积公式，再令 $x=\frac12\sinh u$。利用倍角公式将 $\sinh^2u\cosh^2u$ 化成 $\cosh4u$ 的一次式。

Using $S=2\pi\int y\sqrt{1+(y')^2}\,\mathrm{d}x$ with $y=x^2$ and $y'=2x$, the surface area is

Let $x=\frac12\sinh u$. Then $\mathrm{d}x=\frac12\cosh u\,\mathrm{d}u$ and $\sqrt{1+4x^2}=\cosh u$. The endpoints become $0$ and

Also $\sinh^2u\cosh^2u=\frac14\sinh^22u$, and part (a) gives $\sinh^22u=\frac12(\cosh4u-1)$. Thus

Since $\frac14\sinh(4\ln3)=\frac18(81-1/81)=\frac{820}{81}$,