求 $\tanh^{-1}\left(\frac{1}{2}e^x\right)$ 的麦克劳林级数的前三项，并将其写成 $\frac{1}{2}\ln a+bx+cx^2$ 的形式，给出常数 $a$、$b$ 和 $c$ 的准确值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

令 $u=e^x/2$，利用 $u'=u$ 求前两阶导数。常数项用反双曲正切的对数形式求出。

Let $f(x)=\tanh^{-1}(u)$ with $u=e^x/2$. Since $u'=u$,

At $x=0$, $u=\frac12$. The logarithmic form gives

Also $f'(0)=\frac23$ and $f''(0)=\frac{10}{9}$. Substituting into $f(0)+xf'(0)+\frac{x^2}{2}f''(0)$ gives

Therefore $(a,b,c)=\big(3,\frac23,\frac59\big)$.

也可先写成两个对数之差，再分别代入 $e^x$ 和 $\ln(1+w)$ 的展开。

Use $e^x=1+x+\frac12x^2+O(x^3)$ and $\ln(1+w)=w-\frac12w^2+O(w^3)$. For $u=e^x/2=\frac12+\frac x2+\frac{x^2}{4}+O(x^3)$,

Since $\tanh^{-1}u=\frac12\big(\ln(1+u)-\ln(1-u)\big)$, taking half the difference gives

Thus $a=3$, $b=\frac23$, and $c=\frac59$.