(a) 从用指数表示的 $\cosh$ 和 $\sinh$ 的定义出发，证明

(b) 使用代换 $u=\sinh x$，求

(c) 求微分方程

的特解，已知当 $x=0$ 时 $y=4$。将答案写成 $y=f(x)$ 的形式。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用指数定义把 $2\sinh x\cosh x$ 写成两个括号的乘积，再用平方差展开。

The exponential definitions are

Therefore

先用 (a) 展开平方，再用 $\cosh^2x=1+\sinh^2x$。代换 $u=\sinh x$ 后，只剩多项式。

By (a), $\sinh^2 2x=4\sinh^2x\cosh^2x=4\sinh^2x(1+\sinh^2x)$. With $u=\sinh x$, $\mathrm{d}u=\cosh x\,\mathrm{d}x$, so

由 $\int\tanh x\,\mathrm{d}x=\ln(\cosh x)+C$ 求积分因子。乘上后，右边正好是 (b) 的被积函数。

The equation is already in standard linear form. An integrating factor is $e^{\int\tanh x\,\mathrm{d}x}=e^{\ln(\cosh x)}=\cosh x$. Thus

By (b), $y\cosh x=\frac43\sinh^3x+\frac45\sinh^5x+C$. At $x=0$, $y=4$, so $C=4$. Hence