一条曲线的方程为 $y = e^x$，其中 $\ln\frac{4}{3} \le x \le \ln\frac{12}{5}$。将该曲线绕 $x$ 轴旋转 $2\pi$ 弧度后所得曲面的面积记为 $A$。

(a) 使用代换 $u = e^x$ 证明

(b) 使用代换 $u = \sinh v$ 证明

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先写绕 $x$ 轴旋转的曲面面积公式。由于 $y=y'=e^x$，令 $u=e^x$ 后，$y\,\mathrm{d}x$ 正好变成 $\mathrm{d}u$。

The formula for surface area about the $x$-axis is

Since $y=y'=e^x$, the surface area is

With $u=e^x$, we have $\mathrm{d}u=e^x\,\mathrm{d}x$. The endpoints become $4/3$ and $12/5$, so

用 $u=\sinh v$ 把根式和微分都换成 $\cosh v$，再用倍角公式积分。上下限可用反双曲正弦的对数式求出。

With $u=\sinh v$, the root is $\cosh v$ and $\mathrm{d}u=\cosh v\,\mathrm{d}v$. Since $v=\ln(u+\sqrt{1+u^2})$, the limits become $\ln(4/3+5/3)=\ln3$ and $\ln(12/5+13/5)=\ln5$. Thus