矩阵 $A$ 给出为

(a) 证明

是 $A$ 的一个特征向量，并写出相应的特征值。

(b) 证明 $A$ 的特征方程为

并据此求出 $A$ 的其他特征值。

(c) 利用 $A$ 的特征方程求 $A^{-1}$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

直接将 $A$ 乘给定向量，检查结果是否为原向量的倍数。

Multiplication gives

Thus the given vector is an eigenvector with eigenvalue $-2$.

$\lambda I-A$ 的第二行只有一个非零元素。沿该行展开后，先分解二次因子，再写出展开的特征方程。

The characteristic polynomial is

Its zeros are the eigenvalues. The other two are $\boxed{5\text{ and }-3}$.

用 Cayley–Hamilton 定理得到含 $A^3$ 的等式，再乘 $A^{-1}$。这样只需求 $A^2$，就能写出逆矩阵。

By the Cayley–Hamilton theorem, $A^3-19A-30I=0$. The eigenvalues are all non-zero, so multiplying by $A^{-1}$ gives $30A^{-1}=A^2-19I$. For example, the first row of $A^2$ is obtained from

Completing the other rows gives

Consequently