曲线 $C$ 的方程为

(a) 证明在 $C$ 上的点 $\big(2, \frac{1}{2}\big)$ 处，

(b) 求点 $\big(2, \frac{1}{2}\big)$ 处 $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$ 的值。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

对 $\ln(xy)$ 用链式法则。把导数写成 $\frac1x+\frac{y'}y$，再代入给定点。

Since $xy>0$, the logarithm is defined, and

Differentiating gives

At $(2,\frac12)$, this becomes $12y'+2=0$, so $y'=-\frac16$.

对 (a) 的隐式导数等式再求导。把 $y'$ 前的括号作为一个整体，用乘积法则。

Differentiating the equation from (a) yields

Substituting $x=2$, $y=\frac12$ and $y'=-\frac16$ gives

也可先把 $y'$ 单独表示成 $x,y$ 的函数，再用乘积法则和链式法则求导。

From (a), $y'=-x^{-1}(2y+y^{-1})^{-1}$. Let $H=2y+y^{-1}$. Then

At the point, $H=3$, $x=2$, $2-y^{-2}=-2$ and $y'=-\frac16$. Therefore