矩阵 $A$ 给出为

(a) 证明 $A$ 的特征方程为

并求 $A$ 的特征值。

(b) 利用 $A$ 的特征方程证明

其中 $p$、$q$ 和 $r$ 为待确定的整数。

(c) 求矩阵 $P$ 及对角矩阵 $D$，使得 $(A - 3I)^4 = PDP^{-1}$。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

沿 $\lambda I-A$ 的第一行展开行列式。剩下的二阶行列式是平方差，可以直接分解。

The characteristic polynomial is

Thus the characteristic equation is $\lambda^3-12\lambda^2+12\lambda+80=0$ and the eigenvalues are $\boxed{-2,4,10}$.

用 Cayley–Hamilton 定理将 $A^3$ 化为低次幂。乘以 $A$ 后，再把出现的 $A^3$ 代回。

By the Cayley–Hamilton theorem, $A^3=12A^2-12A-80I$. Therefore

Hence $(p,q,r)=(132,-224,-960)$.

先求 $A$ 的特征向量。对特征值 $\lambda$ 对应的向量，$(A-3I)^4$ 的作用是乘以 $(\lambda-3)^4$。

Solving $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf0$ gives these eigenvectors.

• For $\lambda=-2$, $v_2=-v_3$ and $v_1=-2v_3$, so take $(2,1,-1)^{\mathsf T}$.
• For $\lambda=4$, $v_1=0$ and $v_2=-3v_3$, so take $(0,3,-1)^{\mathsf T}$.
• For $\lambda=10$, $v_1=0$ and $v_2=3v_3$, so take $(0,3,1)^{\mathsf T}$.

They form a basis. The corresponding eigenvalues of $(A-3I)^4$ are $625,1,2401$. Thus

give the required diagonalization.