曲线 $C$ 的参数方程为

(a) 求用 $t$ 表示的 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

(b) 证明

(c) 求 $y$ 关于 $x$ 的 Maclaurin 级数，直到并包括 $x^2$ 项。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

分别对参数 $t$ 求导，再用链式法则求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

Since $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\cosh t$ and $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=1+\sinh t$,

先对 (a) 的商关于 $t$ 求导，再乘 $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$。用 $\cosh^2t-\sinh^2t=1$ 化简分子。

The quotient rule gives

Multiplying by $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\cosh t}$ gives

$x=0$ 对应 $t=0$。在这里求 $y$、$y'$ 和 $y''$，再代入 Maclaurin 展开。

At $x=0$ we have $t=0$, so $y(0)=1$, $y'(0)=1$ and $y''(0)=1$. Therefore