积分 $I_n$ 定义为

(a) 通过考虑 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(x(1 + x^2)^n\big)$，或用其他方法，证明

(b) 求 $I_{-2}$ 的精确值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用乘积法则求导，把结果中的 $x^2$ 写成 $(1+x^2)-1$，就能在积分后得到相邻的两个 $I$。

The product rule gives

Integrating from $0$ to $1$ gives

Hence

先用反正切求 $I_{-1}$，再在递推关系中取 $n=-1$。

We have

With $n=-1$, the recurrence becomes

It follows that $\boxed{I_{-2}=\frac14+\frac{\pi}{8}}$.

也可直接作代换 $x=\tan u$，把被积函数和微分合并成 $\cos^2u\,\mathrm{d}u$。

With $x=\tan u$, we have $1+x^2=\sec^2u$ and $\mathrm{d}x=\sec^2u\,\mathrm{d}u$. Thus