(a) 写出级数 $z + z^2 + \cdots + z^n$ 的和，其中 $z \ne 1$。

(b) 令 $z = \frac{1}{2}(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)$，使用 de Moivre 定理推得

(c) 使用 (b) 的结果，求用 $n$ 和 $\theta$ 表示的 $\sum_{m = 1}^{n} \big(\frac{1}{2}\big)^m m\cos m\theta$。[不需要化简答案。]

(d) 由此求用 $\cos\theta$ 表示的 $\sum_{m = 1}^{\infty} \big(\frac{1}{2}\big)^m m\cos m\theta$。[可以假设当 $n \to \infty$ 时 $\frac{n}{2^n} \to 0$。]

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用首项为 $z$、公比为 $z$ 的有限等比数列求和公式。

For $z\ne1$,

由 de Moivre 定理，所求正弦和是等比和的虚部。分子分母同乘 $1-\bar z$，使分母成为实数。

Let $z=\frac12(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)$. By de Moivre’s theorem the required sum is the imaginary part of $\sum_{m=1}^n z^m$. The real denominator is

since $z+\bar z=\cos\theta$ and $z\bar z=1/4$. By (a),

Here $z^{n+1}\bar z=(z\bar z)z^n=z^n/4$. The imaginary parts of $z$, $-z^{n+1}$, $-1/4$ and $z^n/4$ are respectively $\frac12\sin\theta$, $-2^{-n-1}\sin((n+1)\theta)$, $0$ and $2^{-n-2}\sin(n\theta)$. Thus

对有限正弦和逐项求导，正好得到所需的余弦和。右边用商法则，并保留分子、分母的记号。

Write the numerator and denominator in (b) as $N$ and $D$, so

Differentiating the finite sum term by term and using $D'=\sin\theta$ gives

where

当 $n\to\infty$，分子及其导数中带 $2^{-n}$ 或 $n2^{-n}$ 的项趋于零。最后用 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ 化简。

Since $D\ge\frac14$, and since $2^{-n}\to0$ and $n2^{-n}\to0$, taking the limit in (c) yields