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CIE 9231 2025 Nov Paper 22 Q1

A Level / CIE / FP2

CIE 9231 2025 Nov Paper 22 Paper · Question 1

题目

Problem

The curve CC has polar equation r=e43θr = e^{\frac{4}{3}\theta} for 0≤θ≤π0 \leq \theta \leq \pi.

Find the length of CC. Give your answer in an exact form.

[4]
题目中文翻译

曲线 CC 的极坐标方程为 r=e43θr = e^{\frac{4}{3}\theta}，其中 0≤θ≤π0 \leq \theta \leq \pi。

求 CC 的长度。答案需为精确形式。

(4)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

解法一

思路

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用极坐标弧长公式。因为 drdθ=43r\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}=\frac43r，根式可直接化成 rr 的倍数。

答题过程

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The polar arc length is

s= ∫0πr2+(drdθ)2 dθ= 53∫0πe4θ/3 dθ= 54[e4θ/3]0π= 54(e4π/3−1).\begin{align*} s=&\,\int_0^\pi\sqrt{r^2+\Big(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\Big)^2}\,\mathrm{d}\theta\\ =&\,\frac53\int_0^\pi e^{4\theta/3}\,\mathrm{d}\theta\\ =&\,\frac54\big[e^{4\theta/3}\big]_0^\pi\\ =&\,\frac54\big(e^{4\pi/3}-1\big). \end{align*}