题目

Problem

The variables $x$ and $y$ are such that $y = 2$ when $x = -1$ and

x^2y + (x + y)^3 = 3.

(a) Show that $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{4}$ when $x = -1$ .

[3]

(b) Find the value of $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$ when $x = -1$ .

[6]

题目中文翻译

变量 $x$ 和 $y$ 满足：当 $x = -1$ 时 $y = 2$ ，且

x^2y + (x + y)^3 = 3.

(a) 证明当 $x = -1$ 时， $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{4}$ 。

(3)

(b) 求当 $x = -1$ 时 $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$ 的值。

(6)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

用乘积法则和链式法则隐式求导，再把 $(-1,2)$ 代进去解 $y'$ 。

答题过程

展开

Differentiating with respect to $x$ gives

2xy+x^2y'+3(x+y)^2(1+y')=0.

At $(x,y)=(-1,2)$ this becomes $-4+y'+3(1+y')=0$ , so $y'=\frac14$ .

(b)

解法一

思路

展开

保留 (a) 中含 $x,y$ 的完整等式，再求一次导数。最后同时代入 $x,y,y'$ 。

答题过程

展开

Differentiating the two parts in (a),

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2xy+x^2y') =&\,2y+2xy'+2xy'+x^2y'',\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big[3(x+y)^2(1+y')\big] =&\,6(x+y)(1+y')^2\\ &\,\hspace{2pt}+3(x+y)^2y''. \end{align*}

Hence

2y+4xy'+x^2y''+6(x+y)(1+y')^2+3(x+y)^2y''=0.

At $x=-1$ we have $y=2$ , $y'=\frac14$ and $x+y=1$ . Thus

\begin{align*} 4y''+4-1+6\bigg(\frac54\bigg)^2=&\,0,\\ 4y''+\frac{99}{8}=&\,0,\\ y''=&\,-\frac{99}{32}. \end{align*}

CIE 9231 2025 Nov Paper 22 Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程