(a) 通过考虑 $\big(z + \frac{1}{z}\big)^6$ 的二项展开，其中 $z = \cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta$，使用 de Moivre 定理证明

其中 $a$、$b$、$c$ 和 $d$ 是需要确定的常数。

(b) 求 $\int_0^{\frac{1}{2}\pi}\cos^6 2x\,\mathrm{d}x$ 的精确值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

把 $z+z^{-1}$ 写成 $2\cos\theta$。展开六次方后，将指数互为相反数的项配对，再用 de Moivre 定理。

Since $z+z^{-1}=2\cos\theta$, the binomial theorem gives

Pairing the terms with opposite powers,

By de Moivre’s theorem $z^m+z^{-m}=2\cos(m\theta)$. Dividing by $64$ gives

Thus $(a,b,c,d)=\big(\frac1{32},\frac3{16},\frac{15}{32},\frac5{16}\big)$.

在 (a) 的结果中取 $\theta=2x$。各余弦项积分后，在两个端点都得到零，只有常数项有贡献。

Substituting $\theta=2x$ into the identity and integrating term by term gives