(a) 求微分方程

的通解。

(b) 对于较大的正 $x$ 值以及任意初始条件，证明 (a) 中的解可近似为

其中常数 $R$ 和 $\phi$ 需要确定。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

由辅助方程求互补函数。右边是 $\cos x$，特解要同时试正弦和余弦，因为求导会互相转换。

The auxiliary equation $(m+1)(m+3)=0$ gives the complementary function $Ae^{-x}+Be^{-3x}$. For a particular integral, take $y=p\sin x+q\cos x$. Then

Substitution gives

Solving $2p-4q=0$ and $4p+2q=5$ gives $p=1$ and $q=\frac12$. The general solution is

初始条件只影响两个衰减的指数项。对留下的正弦和余弦比较系数，求振幅和相位。

For fixed $A,B$, both $Ae^{-x}$ and $Be^{-3x}$ tend to zero as $x\to+\infty$. Matching $\sin x+\frac12\cos x$ with $R\sin(x+\phi)$ gives

Taking $R>0$, we have $R^2=1^2+(1/2)^2=5/4$. Both $R\cos\phi$ and $R\sin\phi$ are positive, so we choose $0<\phi<\pi/2$. Hence

Therefore, for large positive $x$,