(a) 使用代换 $x = \frac{1}{2}\sqrt{2}\sinh u$，求 $\int \frac{1}{\sqrt{2x^2 + 1}}\,\mathrm{d}x$。

题图显示曲线 $y = \frac{1}{\sqrt{2x^2 + 1}}$，其中 $0 \leq x \leq 1$，以及一组宽为 $\frac{1}{n}$ 的 $n$ 个矩形。

(b) 通过考虑这些矩形面积之和，证明

(c) 用类似方法，求出关于 $n$ 的 $\sum_{r = 1}^{n}\frac{1}{\sqrt{2r^2 + n^2}}$ 的下界。

(d) 推得

的精确值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

代换后，分母变成 $\cosh u$，正好与 $\mathrm{d}x$ 中的 $\cosh u$ 抵消。

With $x=\frac{1}{\sqrt2}\sinh u$, we have $\mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt2}\cosh u\,\mathrm{d}u$ and $\sqrt{2x^2+1}=\cosh u$. Therefore

题图取右端点的高度。函数严格递减，所以这些矩形的面积和小于积分。用 (a) 算出积分，并把反双曲正弦改成对数。

Let $f(x)=(2x^2+1)^{-1/2}$, which is strictly decreasing on $[0,1]$. The rectangles in the diagram use the right endpoints. For example, writing the first terms and the final term, the area sum is

It satisfies

左端点矩形的面积和大于积分。与 (b) 的右端点和相减时，所有内部端点对应的项都抵消，只需保留首尾两项。

Write $I=\frac1{\sqrt2}\ln(\sqrt2+\sqrt3)$. By (a), $I=[\operatorname{arsinh}(\sqrt2x)/\sqrt2]_0^1$, since $\operatorname{arsinh}(\sqrt2)=\ln(\sqrt2+\sqrt3)$ and $\operatorname{arsinh}(0)=0$. The left-endpoint area sum is greater than $I$. It exceeds $S_n$ by

Thus

so a lower bound for $S_n$ is

上下界只相差 $\frac{1-1/\sqrt3}{n}$，用夹逼定理求极限。

The bounds in (b) and (c) both tend to $\frac1{\sqrt2}\ln(\sqrt2+\sqrt3)$. Hence