已知 $I_n = \int_0^1 x^n\sinh x\,\mathrm{d}x$，其中 $n$ 是非负整数。

(a) 证明当 $n \ge 2$ 时，

(b) 求 $I_2$ 的精确值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

连续做两次分部积分，每次把 $x$ 的幂降低一次。因为 $n\ge2$，两次得到的边界项在 $x=0$ 都为零。

First use $u=x^n$, $\mathrm{d}v=\sinh x\,\mathrm{d}x$, so $v=\cosh x$. For the remaining integral, use $u=x^{n-1}$ and $\mathrm{d}v=\cosh x\,\mathrm{d}x$, giving

Thus the two integrations by parts give

在递推式中取 $n=2$，再直接积分求 $I_0$。

Since $I_0=[\cosh x]_0^1=\cosh1-1$, we have