(a) 求满足 $\cosh 2x = 6\sinh^2 x$ 的 $x$ 的精确值，并用对数形式给出答案。

(b) 在同一图中画出曲线 $C_1: y = \cosh 2x$ 和 $C_2: y = 6\sinh^2 x$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用双曲余弦的倍角公式，把等式化为只含 $\sinh x$ 的方程。保留平方根的两个符号，并把反双曲正弦写成对数。

Using $\cosh 2x=1+2\sinh^2 x$ gives $4\sinh^2 x=1$. Thus $\sinh x=\pm\frac12$ and

也可把双曲函数全写成指数式。令 $u=e^{2x}$，所得方程是一个二次方程。

The equation becomes

Hence $e^{2x}+e^{-2x}=3$. With $u=e^{2x}>0$, we obtain $u^2-3u+1=0$, so

Taking logarithms gives $x=\ln\big(\frac{\sqrt5\pm1}{2}\big)$.

两条曲线都是偶函数，先标出各自在 $y$ 轴上的最低点。再用 (a) 标出两个交点，并检查两条曲线在交点内外的高低关系。

Both curves are symmetric about the $y$-axis. The minimum of $C_1$ is $(0,1)$ and the minimum of $C_2$ is $(0,0)$. Let $h=\ln\big(\frac{\sqrt5+1}{2}\big)$. The curves meet at $\big(-h,\frac32\big)$ and $\big(h,\frac32\big)$. Since $C_2-C_1$ in height is $4\sinh^2x-1$, $C_2$ is lower for $|x|<h$ and higher for $|x|>h$.