George 同时抛掷两枚硬币 A 和 B。硬币 A 是不均匀的，得到正面的概率为 $a$。硬币 B 是不均匀的，得到正面的概率为 $b$，其中 $b < a$。随机变量 $X$ 表示 George 得到的正面数，其概率母函数为 $G_X(t)$。在 $G_X(t)$ 中，$t$ 和 $t^2$ 的系数分别为 $\frac{5}{12}$ 和 $\frac{1}{12}$。

(a) 求 $a$ 的值。

随机变量 $Y$ 是 $X$ 的两个独立观测值之和。

(b) 求 $Y$ 的概率母函数，并将答案表示为 $t$ 的多项式。

(c) 求 $\operatorname{Var}(Y)$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

将两个正面指示变量的生成函数相乘。比较一次项与二次项系数，得到 $a+b$ 和 $ab$。

The generating function is $((1-a)+at)((1-b)+bt)$. Thus $ab=1/12$ and $a+b-2ab=5/12$, giving $a+b=7/12$. Therefore $a$ and $b$ are roots of

Since $b<a$, we have $a=1/3$ and $b=1/4$.

由概率和为 $1$ 得出常数项，再把一次观察的生成函数平方并展开。

The constant term of $G_X$ is $1-5/12-1/12=1/2$. Using independence,

用 (b) 的生成函数求均值和二阶阶乘矩，再代入方差公式。

Differentiating the generating function gives

The derivatives at $1$ give

Using $\operatorname{Var}(Y)=G_Y''(1)+G_Y'(1)-\big(G_Y'(1)\big)^2$, we obtain $\operatorname{Var}(Y)=73/72+7/6-(7/6)^2=59/72$.

也可以把 $Y$ 看成四次独立抛掷的正面总数。两枚硬币各投两次，因此分别求指标方差再相加。

For each of the two throws of coin A the variance is $(1/3)(2/3)$, and for each throw of coin B it is $(1/4)(3/4)$. Independence gives