连续随机变量 $X$ 的概率密度函数 f 定义如下：

(a) 求 $\mathrm{E}(\sqrt{X})$。

随机变量 $Y$ 定义为 $Y = X^2$。

(b) 求 $Y$ 的概率密度函数。

(c) 求 $Y$ 的第 40 百分位数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

将 $\sqrt x$ 乘密度后化成两个幂函数，逐项积分。

The expectation is

平方在支撑区间上递增。将 $X$ 的 CDF 代入 $\sqrt y$，再求导得到 $Y$ 的密度。

For $1\le x\le3$, the CDF of $X$ is $\frac38[u-1/u]_{1}^{x}=\frac38(x-1/x)$. Thus on $1\le y\le9$,

The CDF is constant outside this interval. Therefore a density is

将 $Y$ 的累计概率设为 $0.4$。用 $u=\sqrt y$ 把所得方程化成二次方程。

For the percentile $y$, $\frac38(u-1/u)=0.4$ with $u=\sqrt y\in[1,3]$. Hence $15u^2-16u-15=(3u-5)(5u+3)=0$. Only $u=5/3$ is valid, so the fortieth percentile is $y=25/9$.