连续随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f$ 为

(a) 求 $X$ 的累积分布函数。

随机变量 $Y$ 定义为 $Y = X^{\frac{1}{3}}$。

(b) 求 $Y$ 的概率密度函数。

(c) 求 $Y$ 的中位数的精确值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

只在支撑区间内从左端积分。整理结果时留意 $x^{2/3}$ 是 $x^{1/3}$ 的平方。

For $1\le x\le27$,

The CDF is $0$ for $x<1$, the displayed expression for $1\le x\le27$, and $1$ for $x>27$.

将 $Y\le y$ 改写成 $X\le y^3$。用 (a) 得到新累积分布后，在支撑区间内求导。

The support of $Y$ is $[1,3]$. On this interval, $F_Y(y)=F_X(y^3)=(y-1)^2/4$. It is constant below and above that interval. Therefore

令新变量的累计概率为 $1/2$。从两个代数根中选取支撑区间内的一个。

The median $m$ satisfies $(m-1)^2/4=1/2$. Since $1\le m\le3$, we obtain the exact value $m=1+\sqrt2$.