随机变量 $X$ 的概率母函数 $G_X(t)$ 为

其中 $k$ 为常数。

(a) 证明 $E(X) = \dfrac{11}{8}$。

随机变量 $Y$ 的概率母函数 $G_Y(t)$ 为

随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且 $Z = X + Y$。

(b) 求 $Z$ 的概率母函数，并将答案表示为关于 $t$ 的多项式。

(c) 利用你在 part (b) 中的答案，求 $\operatorname{Var}(Z)$ 的值。

(d) 写出 $Z$ 最可能的取值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先用 $G_X(1)=1$ 求常数，再计算一阶导数在 $1$ 处的值。

Since $G_X(1)=k(1+3+4)=1$, we have $k=1/8$. Differentiating gives $G_X'(t)=(3+8t)/8$. Hence $G_X'(1)=(3+8)/8=11/8$, as required.

母函数中各次幂的系数就是对应概率，可以直接用离散变量的期望定义。

Since $G_X(1)=1$, $k=1/8$. Reading the coefficients gives

Therefore

as required.

独立变量的和对应两个生成函数相乘。先保留 $t^2$ 因子，展开其余部分。

We obtain

在 $t=1$ 处求一阶、二阶导数，分别得到均值和二阶阶乘矩。

Differentiating the polynomial from (b) gives

At $t=1$,

Using $\operatorname{Var}(Z)=G_Z''(1)+G_Z'(1)-\big(G_Z'(1)\big)^2$, we obtain

生成函数中最大的系数对应最可能的取值。

The largest coefficient is $10/24$, on $t^4$. Thus the most probable value is $Z=4$.