随机变量 $Y$ 是随机变量 $X$ 的两个独立观测值之和。$Y$ 的概率母函数 $G_Y(t)$ 为

(a) 求 $E(Y)$。

(b) 写出 $X$ 的概率母函数的一个表达式。

(c) 求 $P(X = 4)$。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

对 $G_Y(t)$ 用乘积法则求导。代入 $t=1$ 得到均值。

Since $G_Y(t)=t^2(4-3t)^{-4}$,

Thus $\operatorname E[Y]=G_Y'(1)=2+12=14$.

两次独立观察之和的生成函数是原生成函数的平方。取在 $t=1$ 处为 $1$ 的平方根。

Since $G_Y(t)=G_X(t)^2$, the PGF of $X$ is

先提出因子 $t/16$。要找 $t^4$ 的系数，只需求剩余因子的三次项。

Write $G_X(t)=\frac{t}{16}(1-3t/4)^{-2}$. Using the binomial expansion,

Putting $u=3t/4$ gives

Thus the coefficient of $t^4$ in $G_X$ is

Therefore $\Pr(X=4)=27/256$.