CalcGospel 國際數學圖譜
返回

CIE 9231 2024 June Paper 43 Q4

A Level / CIE / FS

CIE 9231 2024 June Paper 43 Paper · Question 4

题目

Problem

The random variable XX has probability generating function GX(t)G_X(t) given by

GX(t)=ct(1+t)5,G_X(t) = ct(1 + t)^5,

where cc is a constant.

(a) Find the value of cc.

[1]

(b) Find the value of E(X)E(X).

[2]

The random variable YY is the sum of two independent values of XX.

(c) Write down the probability generating function of YY and hence find Var⁡(Y)\operatorname{Var}(Y).

[4]

(d) Find P(Y=5)P(Y = 5).

[2]
题目中文翻译

随机变量 XX 的概率母函数 GX(t)G_X(t) 为

GX(t)=ct(1+t)5,G_X(t) = ct(1 + t)^5,

其中 cc 为常数。

(a) 求 cc 的值。

(1)

(b) 求 E(X)E(X) 的值。

(2)

随机变量 YY 是两个独立的 XX 的取值之和。

(c) 写出 YY 的概率母函数，并由此求 Var⁡(Y)\operatorname{Var}(Y)。

(4)

(d) 求 P(Y=5)P(Y = 5)。

(2)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

生成函数在 t=1t=1 处等于概率总和 11。

答题过程

展开

We have GX(1)=c(1)(25)=1G_X(1)=c(1)(2^5)=1, so c=1/32c=1/32.

(b)

解法一

思路

展开

用乘积法则求一阶导数，在 t=1t=1 处得到均值。

答题过程

展开

We have GX′(t)=c((1+t)5+5t(1+t)4)G_X'(t)=c((1+t)^5+5t(1+t)^4). Thus

E⁡[X]=GX′(1)=32+8032=72.\operatorname E[X]=G_X'(1)=\frac{32+80}{32}=\frac72.

(c)

解法一

思路

展开

将独立的两个生成函数相乘。由新函数的两阶导数求方差。

答题过程

展开

Since the two copies of XX are independent,

GY(t)=GX(t)2=t2(1+t)101024.G_Y(t)=G_X(t)^2=\frac{t^2(1+t)^{10}}{1024}.

Differentiating this product gives

GY′(t)= 2t(1+t)10+10t2(1+t)91024,GY′′(t)= 2(1+t)10+40t(1+t)91024 +90t2(1+t)81024.\begin{align*} G_Y'(t)=&\,\frac{2t(1+t)^{10}+10t^2(1+t)^9}{1024},\\ G_Y''(t)=&\,\frac{2(1+t)^{10}+40t(1+t)^9}{1024}\\ &\,\hspace{2pt}+\frac{90t^2(1+t)^8}{1024}. \end{align*}

At t=1t=1,

 GY′(1)=2(210)+10(29)1024=7, GY′′(1)=2(210)+40(29)+90(28)1024=892.\begin{align*} &\,G_Y'(1)=\frac{2(2^{10})+10(2^9)}{1024}=7,\\ &\,G_Y''(1)=\frac{2(2^{10})+40(2^9)+90(2^8)}{1024}=\frac{89}{2}. \end{align*}

Hence

Var⁡(Y)= GY′′(1)+GY′(1)−(GY′(1))2= 892+7−72=52.\begin{align*} \operatorname{Var}(Y)=&\,G_Y''(1)+G_Y'(1)-\big(G_Y'(1)\big)^2\\ =&\,\frac{89}{2}+7-7^2=\frac52. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以从 GYG_Y 识别平移后的二项分布。平移不改变方差。

答题过程

展开

Since GY(t)=t2((1+t)/2)10G_Y(t)=t^2((1+t)/2)^{10}, we have Y=d2+BY\overset{\mathrm d}=2+B where B∼Binomial⁡(10,1/2)B\sim\operatorname{Binomial}(10,1/2). Thus Var⁡(Y)=10(1/2)(1/2)=5/2\operatorname{Var}(Y)=10(1/2)(1/2)=5/2.

解法三

思路

展开

先利用 (b) 已求出的一阶导数算出 XX 的方差，再把两个独立变量的方差相加。

答题过程

展开

From (b), GX′(t)=((1+t)5+5t(1+t)4)/32G_X'(t)=\big((1+t)^5+5t(1+t)^4\big)/32. Differentiating again,

GX′′(t)= 10(1+t)4+20t(1+t)332,GX′′(1)= 160+16032=10.\begin{align*} G_X''(t)=&\,\frac{10(1+t)^4+20t(1+t)^3}{32},\\ G_X''(1)=&\,\frac{160+160}{32}=10. \end{align*}

Therefore

Var⁡(X)= GX′′(1)+GX′(1)−(GX′(1))2= 10+72−(72)2=54.\begin{align*} \operatorname{Var}(X)=&\,G_X''(1)+G_X'(1)-\big(G_X'(1)\big)^2\\ =&\,10+\frac72-\Big(\frac72\Big)^2=\frac54. \end{align*}

Since YY is the sum of two independent copies of XX,

Var⁡(Y)=2Var⁡(X)=2(54)=52.\operatorname{Var}(Y)=2\operatorname{Var}(X)=2\Big(\frac54\Big)=\frac52.

(d)

解法一

思路

展开

外因子已提供 t2t^2，要找 t5t^5 的系数，只取 (1+t)10(1+t)^{10} 的三次项。

答题过程

展开

The required coefficient is (103)/1024=120/1024=15/128\binom{10}{3}/1024=120/1024=15/128. Hence Pr⁡(Y=5)=15/128\Pr(Y=5)=15/128.